Mais les mathématiques possèdent un sacré avantage sur les autres disciplines : il y est possible de s’affranchir des limites physiques ! Aujourd’hui, nous allons donc essayer de voir ce qu’il se passe si nous plions un feuille A4 autant de fois qu’on le souhaite ! La question peut sembler sans intérêt, et pourtant elle permet d’illustrer de façon spectaculaire les fameuses croissances exponentielles !

1. Une histoire de pliages

Commençons par regarder les dimensions d’une feuille A4 :

Longueur = 29,7 cm / Largeur = 21 cm / Épaisseur = 0,1 mm

Lorsque nous plions en 2 une feuille, nous nous retrouvons avec un nouveau morceau de papier dont la longueur et la largeur sont 2 fois plus petites, mais dont l’épaisseur est doublée !

Après 1 pliage, l’épaisseur obtenue est donc de 0,2 mm. Intéressons-nous aux différentes épaisseurs successives obtenues :

0,1 mm / 0,2 mm / 0,4 mm / 0,8 mm … ces épaisseurs doublent à chaque fois, si bien que l’on se retrouve avec un morceau de papier de plus en plus grand !

Voici la question à laquelle je vais vous demander de proposer une réponse de façon très intuitive :

Je vous l’accorde, il semble difficile d’y répondre. Mais essayez au moins de donner un ordre de grandeur (10 ? 100 ? 1 000? 1 000 000 000 ?) !

2. Plier jusqu’à la lune, ça ne nous fait pas peur !

Lançons-nous dans les calculs ! Pour faciliter la chose, nous allons exprimer toutes les longueurs en mètre.

L’épaisseur de la feuille vaut donc 0,1 mm = 0,0001 m et la distance Terre-Lune est de 384 000 km = 384 000 000 m

Notons N le nombre de pliages effectués. Nous avons déjà vu qu’a chaque pliage, l’épaisseur double.

Pliage 1 : 0,0001 × 2

Pliage 2 : 0,0001 × 2 × 2 = 0,0001 × 2²

Pliage 3 : 0,0001 × 2² × 2 = 0,0001 × 2^3

…

Pliage N : 0,0001 × 2^N

Nous sommes capables d’exprimer l’épaisseur obtenue en mètre après N pliages : 0,0001 × 2^N.

Il suffit maintenant de résoudre l’équation suivante, pour que cette épaisseur soit égale à la distance Terre-lune. Vous pouvez passer la résolution si vous ne voulez pas vous embêter avec, celle-ci est de niveau terminale scientifique.

Et voilà, nous connaissons une expression du nombre de pliages à faire ! Il nous suffit de regarder sa valeur (gigantesque c’est certain ?) à la calculatrice : N ≈ 42.

Pardon : 42 !!!?

Exactement ! Il suffirait seulement de 42 pliages d’une feuille d’épaisseur 0,1 mm pour obtenir une pile de hauteur dépassant la distance Terre-lune. J’espère que vous êtes ébloui par ce résultat !

3. Un problème de grains de blé !

Il existe un problème historique similaire bien connu.

Un sage vient d’inventer le jeu d’échecs, et demande au roi en récompense qu’il lui offre 1 grain de blé sur la 1ère case, 2 sur la 2nde, 4 sur la 3e, 8 sur la 4e ect, en doublant à chaque fois le nombre de grains de blé sur les 64 cases du plateau.

Le roi accepte, sans se douter de son erreur ! En effet, rien que la dernière case devrait contenir 2^63 grains ce qui vaut 9 223 372 036 854 775 808. Ce nombre est 500 fois plus élevé que la production mondiale de blé en 2012, rendez-vous compte !

Je ne rentrerai par dans le détail des croissances exponentielles (une prochaine fois). Dans le langage commun, ce terme est utilisé pour parler de phénomènes qui évoluent à vitesse extrêmement rapide. Ceci est totalement justifié mathématiquement.

Ici, pour passer de l’épaisseur du tas (ou du nombre de grains) au suivant, nous multiplions toujours par une quantité fixe : 2. Ceci décrit exactement une croissance exponentielle, et vous pouvez voir à quelle vitesse elle permet de passer de 0,0001 m à 384 000 000 m, défiant toute notre intuition !

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Mario doit rentrer à son château. Avant cela, il doit passer par la rivière. La question est simple : quel trajet doit-il faire pour parcourir le moins de distance possible ? Autrement dit, par quel point de la rivière doit-il passer ?
Pour mieux comprendre, voici un schéma :

Mario peut donc passer par n’importe quel point de la rivière. Convenons d’une chose qui j’espère est évidente : il va se déplacer en ligne droite jusqu’à la rivière, et en ligne droite de la rivière jusqu’au château. Par exemple, suivre le trajet suivant :

J’ai affiché les distances des 2 petits trajets, puis la distance totale parcourue. Si je change le point A sur la rivière, j’obtiens un résultat différent :

On voit que ce second trajet est moins intéressant car plus long.
Mais alors, je repose la question : comment faire pour minimiser la distance ?

Cela semble difficile… je vous laisse y réfléchir un peu, avant de vous présenter la solution (juste en dessous, n’en lisez pas plus si vous souhaiter y réfléchir !).

____________________________________________________________________________

Pour répondre à ce problème, il faut en fait utiliser un résultat très simpliste, que nous avons déjà évoqué : « La distance la plus courte entre 2 points est…la ligne droite ! ».

Nous allons commencer par tracer le symétrique du château par rapport à la rivière, j’appelle C’ ce point (le symétrique est sur la perpendiculaire à la rivière, et est à égale distance de la rivière.) Je trace ensuite le trajet de Mario jusqu’au symétrique C’.

Pour minimiser la distance, il faut alors passer par le point A de la rivière, qui est celui par lequel passe le chemin précédemment tracé !

En effet, le trajet de Mario au point C’ est le plus court (la ligne droite !). Or, la distance de A à C’ est la même que celle de A au château (cela vient du fait que nous avons tracé le symétrique). Finalement, c’est bien le trajet le plus court ! Ici, cette distance minimale vaut 6,15 !

De façon générale, pour avoir le plus court chemin pour aller d’un point A à un point B en passant par une droite (d), il faut :

• Tracer le symétrique B’ de B par rapport à (d).

• Tracer le segment [AB’].

• Nommer C le point d’intersection entre le segment précédent et (d).

• Le plus court chemin consiste alors à faire le trajet de A à C puis de C à B.

2. Attention à la ligne droite !

Je tiens à rectifier une affirmation que nous avons faite : « Le trajet le plus court entre 2 points est la ligne droite ». Oui…mais !

En fait, ce résultat est vrai en géométrie « classique », ce dont nous avons l’habitude de faire à l’école, sur des plans.

Sur des globes par exemple, ceci n’est plus vraiment valable. Il y a une situation qui permet de bien l’illustrer : les trajets des avions. Voici différents parallèles sur le globe (représentés à plat sur un planisphère). Il y a en particulier le 43e, passant par Toulouse et Toronto.

Voici maintenant le trajet suivi par les avions pour rejoindre ces 2 villes, qui bien évidemment est minimal (pour économiser le carburant) :

Oui, on ne semble plus suivre les lignes droites du planisphère…

Voici la situation : « Vous effectuez un trajet Paris – Marseille en voiture, soit 1 000 km. Vous vous arrêtez à mi-chemin et constatez que vous avez roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h. Quelle doit être votre vitesse sur le reste du trajet pour avoir une vitesse moyenne de 200 km/h sur l’ensemble du trajet ? ».

L’énoncé est fictif, notamment les vitesses mises en jeu. Bien évidemment : on respecte les limitations au volant !

Attention, partie suivant présente la solution de l’énigme !

1. La solution de l’énigme

Pour commencer, rappelons qu’une vitesse est le rapport entre la distance et le temps : v = d/t (d’où l’unité des km/h : la distance divisée par le temps). De cette formule, nous pouvons exprimer le temps par : t = d/v.
Dans notre problème, calculons le temps mis pour faire la première moitié du trajet soit 500km : t = d/v = 500/100 = 5.

A mi-chemin, nous avons roulé 5h.

Calculons maintenant le temps que l’on doit mettre pour faire l’ensemble du trajet, soit 1 000km à une vitesse moyenne de 200 km/h : t = d/v = 1 000/200 = 5h.

Il faut donc rouler 5h pour faire le trajet entier à 200 km/h.

Oups ! A mi-chemin, nous avons déjà roulé 5h… En fait, il faudrait se téléporter instantanément… Quel que soit votre vitesse, vous ne pourrez pas satisfaire le problème ! Même la lumière et ses 300 000 km/s (par seconde !) sont insuffisants !
Les calculs sont formels. Je suis persuadé que si vous ne connaissiez pas ce problème, il vous a surpris ! Avouez que cela n’est pas du tout intuitif (d’ailleurs : comparez avec votre intuition de départ !).
Je vous propose de creuser un peu ces histoires de vitesses moyennes.

2. Moyennes de vitesses

Dans cette partie, il y aura quelques calculs. Pas forcément méchants, mais je comprends que cela puisse rebuter. Vous pouvez donc lire l’article sans vous préoccuper des calculs !

Partons d’un nouveau problème. Vous montez un col à vélo à une vitesse moyenne v1 de 20 km/h. Une fois en haut, vous redescendez à une vitesse v2 de 60 km/h.

Quelle est votre vitesse moyenne sur l’ensemble de votre parcours ? Notez qu’ici, on ne connait pas la distance parcourue (cela ne change rien à la question, vous verrez !). On va noter d la distance pour monter au col. Pour redescendre, la distance est aussi de d.

Lançons-nous ! Pour connaitre la vitesse moyenne, nous devons connaitre :

1. La distance parcourue : d à l’aller et d au retour, donc 2d en tout.

2. Le temps de trajet :

• A l’aller : on parcourt la distance d à 20 km/h. On a donc : t1 = d/v1 = d/20

• Au retour : on parcourt d à 60 km/h. On a donc : t2 = d/v2 = d/60

• Temps total : d/20 + d/60

On calcule alors la vitesse moyenne :

Le cycliste a donc roulé à une vitesse moyenne de 30km/h.
Remarquez bien que cette valeur moyenne n’est pas celle dont nous avons l’habitude. Généralement, lorsque l’on pense moyenne de 20 et 60 on calcule (20+60)/2 = 40 : on appelle cela la moyenne arithmétique. C’est celle que l’on utilise pour connaitre notre moyenne à l’école !

Pour des vitesses, la moyenne utilisée est dite harmonique. Si l’on prend 2 nombres a et b, leur moyenne harmonique est définie par :

Ceci correspond exactement au problème du cycliste ! La vitesse moyenne lors d’un trajet aller à la vitesse v1 et la vitesse v2 au retour est donné par la moyenne harmonique des vitesses :

Pour vérifier cette formule générale, il s’agit essentiellement de faire les calculs déjà faits dans l’exemple du cycliste. Je vous laisse le soin de le faire par vous-même si l’envie vous prend !
Il est assez intéressant de noter comme annoncé que cela est indépendant de la distance parcoure !

3. L’énigme via la moyenne harmonique

Revenons à notre problème initial et traitons-le à l’aide de notre nouvelle formule.
Ici, la première vitesse est de 100 km/h et nous voulons une vitesse moyenne de 200 km/h. Comme nous le savons maintenant, la distance de trajet n’est pas importante. Traduisons cela en équation.

Nous cherchons la vitesse v sur la deuxième moitié du trajet telle que la moyenne harmonique de 100 et de v soit égale à 200 :

Ceci signifie que notre équation de départ est équivalente à l’équation 0 = 2000. Autrement dit, aucune vitesse v ne peut satisfaire l’égalité (sinon cela équivaudrait à 0 = 2000). Il n’y a pas de réponse à notre problème, comme nous le savions déjà !

En conclusion, j’aimerais insister sur cette nouvelle moyenne dite harmonique. Ce problème de vitesse nous a permis d’aboutir à cette jolie formule, que l’on présente rarement dans la scolarité ! Sachez qu’il existe encore d’autres moyennes (quadratique, géométrique…) et qu’elles apparaissent dans des situations bien concrètes. Il faudra que je prenne le temps de vous les présenter !

4. Petits compléments

1. Voici la formule qui donne la moyenne harmonique de k nombres (tous strictement positifs) n1, n2, ..., nk :

Attention, tous les nombres doivent être strictement positifs. En effet, si l'un est négatif cela n'a pas de sens pour la vitesse. Si l'un est nul c’est un cas particulier puisque l’on avance pas. Mais cela engendre un problème plus grave : une division par 0 dans la formule. Et ça... c'est le pire des cataclysmes ! Vous pouvez vous référer à mon article suivant :

Pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?

2. Sur l'exemple du cycliste nous avons vu que la moyenne harmonique de 20 et 60 vaut 30. Cette valeur est inférieure à la moyenne arithmétique qui vaut 40. On peut se demander si c'est toujours le cas : la réponse est oui (sauf dans le cas a = b ou les 2 moyennes sont égales). Pour le montrer, on peut résoudre une inégalité entre la moyenne harmonique de 2 nombres a et b d'un côté, et leur moyenne arithmétique de l'autre.

En un certain sens, les vitesses les plus faibles "comptent plus" que les grandes vitesses lorsque l'on calcule la vitesse moyenne.

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Aujourd’hui, je vous propose une énigme que j’aime particulièrement !
L’énoncé est le suivant :
"Vous vous trouvez dans votre chambre, lumières éteintes : dans le noir le plus total ! Face à vous se trouve une commode avec un tiroir. Ce dernier est ouvert et contient 100 jetons. Chaque jeton possède une face blanche et une face noire (on peut donc intervertir la couleur d’un jeton en le retournant). Vous savez que 75 jetons sont noirs et les 25 autres sont blancs (mais vous ne savez pas lesquels). Votre objectif consiste à les séparer en 2 tas (du nombre de jetons que vous souhaitez) de sorte que chacun des 2 tas possèdes le même nombre de jetons blancs (et ce de façon certaine). Comment procéder ?"

Résoudre l’énigme consiste donc à décrire un procédé permettant de fabriquer ces 2 tas. Par exemple, si votre méthode permet de faire à coup sûr un tas de 1 jeton blanc, et un tas de 99 jetons dont un seul est blanc, cela convient !
De prime abord, cette énigme semble… impossible.

Et pourtant, il existe bel et bien une solution. Et cette dernière n’est pas vraiment complexe, c’est ce qui est magique dans cette énigme !

Attention, la partie suivante présente la solution. Je vous invite à chercher par vous-même. Pour cela, munissez-vous d'une feuille, d'un crayon et explorez toutes les pistes qui vous semblent prometteuses !

2. La solution sur un exemple

Voici un procédé permettant de résoudre l’énigme. Je vais commencer par le décrire, pour nous l’étudierons plus en détail pour vous convaincre qu’il fonctionne.
« Faire un tas de 75 jetons et un de 25 jetons au hasard. Retournez les 25 jetons du deuxième tas ».

Et . . . voilà !

Regardons de plus près sur un exemple au hasard.

1. Nous faisons nos 2 tas. Imaginons que le tas 1 de 75 jetons contienne 15 jetons blancs.

   

2. Puisqu’il y a dans le tiroir en tout 25 jetons blancs, il y en a 10 dans le second tas (les 25 moins les 15 du tas 1). Il y a de plus 15 jetons noirs dans le tas 2 (25 jetons dont 10 blancs).

   

En retournant les jetons du tas 2, les couleurs s’échangent : un jeton blanc devient noir, et un noir devient blanc.

Ceci donne alors dans le tas 2 : 15 blancs et 10 noirs. On a 15 jetons blancs, comme dans le tas 1 : c’est gagné !

Cette technique fonctionne !! Enfin, si le tas 1 contient 15 jetons blancs...

3. La solution générale

Reprenons la solution.
« Faire un tas de 75 jetons et un de 25 jetons au hasard. Retournez les 25 jetons du deuxième tas ».

Pour l'étudier dans le cas général, nous n'allons plus supposer qu'il y a 15 jetons blancs dans le tas 1. Vérifions que cette technique fonctionne quelque soit ce nombre !

On repart de nos 2 tas.

1. Notons b le nombre de jetons blancs dans le tas 1 de 75 jetons (ici b est un entier compris entre 0 et 25 car il y a en tout 25 jetons blancs).

2. Dans le tas 2, il y a 25-b jetons blancs (les 25 de départ moins ceux du tas 1). Il y a de plus b jetons noirs (pour que le nombre de jetons blancs et noirs soit égal à 25 : on a bien 25-b+b = 25).

3. Lorsque l’on retourne les jetons du tas 2, cela donne : 25-b jetons noirs et b jetons blancs. C’est gagné, il y a b jetons blancs dans les 2 tas !

Magique, non !?

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Aujourd’hui, nous allons nous intéresser à un petit jeu « Mathématique ». Ce que j’entends par là, c’est qu’une petite stratégie simple, basée sur un raisonnement Mathématique, va nous permettre de gagner à coup sûr !
Pour exemple, vous connaissez certainement le jeu des bâtonnets, popularisé par Ford Boyard. Dans celui-ci, 20 bâtonnets sont alignés et à tour de rôle les joueurs doivent retirer au choix 1, 2 ou 3 bâtonnets. Celui qui retire le dernier bâtonnet est déclaré comme étant le perdant ! Si vous ne connaissez pas l’astuce pour gagner à coup sûr, je vous laisse y réfléchir (il s’agit aussi de savoir si le futur gagnant avec cette stratégie sera celui qui joue en premier ou en deuxième).
Voici le jeu du jour ! Un premier joueur (appelons le B) décide d’écrire dans l’ordre de son choix les nombres de 1 à 10. Cela pourrait donner par exemple :

• 4 8 9 2 1 6 10 7 3 5

C’est alors le deuxième joueur (A) qui débute la partie. Pour cela, il doit choisir un de ces 10 nombres, qui correspondra à un nombre de points (le but étant d’en avoir plus que l’adversaire). La seule contrainte est la suivante : il doit choisir un nombre d’une des 2 extrémités (soit le plus à gauche, soit le plus à droite).
Ici, cela lui donne 2 possibilités : le 4 et le 5. Disons qu’il choisisse le 5 (qui est plus grand). Celui-ci est retiré, et le jeu se poursuit avec le joueur B qui choisit un nombre de la même façon.
Chaque joueur va au total choisir 5 nombres, ce qui lui donne un total de points. Est déclaré vainqueur celui qui en possède le plus !
Regardons une partie possible.

• 4 8 9 2 1 6 10 7 3 5 A choisit 5

• 4 8 9 2 1 6 10 7 3 B choisit 4

• 8 9 2 1 6 10 7 3 A choisit 8

• 9 2 1 6 10 7 3 B choisit 9

• 2 1 6 10 7 3 A choisit 3

• 2 1 6 10 7 B choisit 7

• 2 1 6 10 A choisit 10

• 2 1 6 B choisit 6

• 2 1 A choisit 2

• 1 B choisit 1

Faisons les comptes ! A : 5 + 8 + 3 + 10 + 2 = 28 points et B : 4 + 9 + 7 + 6 + 1 = 27 points
Le vainqueur est donc A !

Vous avez peut-être remarqué la stratégie utilisée par les 2 joueurs : chacun prend à chaque tour le plus grand nombre des 2 qu’il peut choisir.
Qu’en pensez-vous ? Cela pourrait avantager A, qui débute la partie. Cependant, B qui choisit l’ordre pourrait s’arranger pour choisir un ordre le favorisant… Comment être certain qu’un des 2 joueurs peut gagner toutes les parties ?

2. Une stratégie optimale !

Je vais ici détailler une stratégie permettant au joueur……. A de gagner à coup sûr !
Faisons une première remarque. La somme des nombres de 1 à 10 est égale à 55 (je vous laisse le vérifier). Pour gagner, il faut donc avoir à minima 28 points (vous noterez qu’il n’est pas possible d’avoir match nul !).
Imaginons l’ordre suivant pour débuter une partie :

• 10 8 9 6 1 7 3 5 4 2

Il est raisonnable de penser que nous devons nous ruer sur le 10 (à place du 2 !). Détrompez-vous, cela serait une grosse erreur ! Cela parait absurde, et pourtant….
Je vous propose de mettre cela en couleur :

Je colorie un nombre sur 2 en rouge, et un sur 2 en bleu. Lorsque je joue, je peux m’assurer de prendre toujours un nombre de la même couleur. Par exemple, je peux commencer par le 2. Le joueur B sera alors forcé de prendre un nombre rouge. A mon tour, j’aurai le choix entre un bleu et un rouge, je prends le bleu. B sera forcé de prendre un rouge…
Au final, j’aurais engrangé tous les nombres bleus et B tous les rouges.

Vous voyez la technique ? Il faut choisir la couleur dont les points sont au moins égaux à 28 ! Pour cela, il suffit de compter dans sa tête la somme d’un nombre sur 2, pour déterminer la liste gagnante. Il s’agit ensuite de tous les récupérer !
Illustrons cela sur l’exemple.
Je compte en rouge : 10 + 9 + 1 + 3 + 4 = 27 points. Je sais donc immédiatement que la liste rouge est perdante (on compterait en bleu 28 points).

Cet exemple illustre bien qu’à chaque tour, B est forcé de prendre un nombre rouge, tandis que nous récoltons tous les bleus, et la victoire qui en découle !
Notre choix initial de prendre le 2 à la place du 10 peut laisser suggérer à l’adversaire que nous sommes naïfs, alors que c’est lui qui tombe dans un piège, n’ayant aucune chance de gagner !

Pour se faciliter la tâche, nous pouvons résumer la stratégie gagnante comme suit :
« 1. J’identifie la suite gagnante. Pour cela, je fais mentalement la somme des points en prenant un nombre sur 2 en partant du premier à gauche. Si cette somme vaut au moins 28, je la choisis, sinon je prends l’autre ».
2. Je commence par prendre le premier nombre de cette liste.
3. Si B prend le nombre de gauche, je prends celui de gauche. S’il prend celui de droite, je prends celui de droite. En fait, je joue toujours du même côté que lui ».

Et le tour est joué ! Voilà comment un petit raisonnement Mathématique peut nous mener vers des stratégies gagnantes ! Ceci n’avait rien d’intuitif, il paraissait difficile à première vue d’assurer la victoire à l’un des 2 joueurs ! Bien sûr, si les 2 joueurs connaissent cette stratégie, le jeu perd de son intérêt…

C’est par exemple le cas du jeu du morpion, ou il est facile de comprendre comment faire match nul à coup sûr.
Dans ces situations, on parle de jeu « résolu », en ce sens que l’on connait une stratégie figeant à l’avance le sort de la partie.
Un exemple célèbre est celui du jeu d’échecs. L’ordinateur bat aujourd’hui très facilement tous les êtres humains. Cependant, nous ne savons pas si le jeu de l’ordinateur est parfait. Aujourd’hui, beaucoup pensent qu’il doit exister une stratégie assurant à coup sûr le match nul. Mais nous sommes loin d’en être sûr, et encore plus loin de pouvoir considérer une telle stratégie !

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