L'énigme des 100 jetons !

1. L'énoncé de l'énigme

Aujourd’hui, je vous propose une énigme que j’aime particulièrement !
L’énoncé est le suivant :
"Vous vous trouvez dans votre chambre, lumières éteintes : dans le noir le plus total ! Face à vous se trouve une commode avec un tiroir. Ce dernier est ouvert et contient 100 jetons. Chaque jeton possède une face blanche et une face noire (on peut donc intervertir la couleur d’un jeton en le retournant). Vous savez que 75 jetons sont noirs et les 25 autres sont blancs (mais vous ne savez pas lesquels). Votre objectif consiste à les séparer en 2 tas (du nombre de jetons que vous souhaitez) de sorte que chacun des 2 tas possèdes le même nombre de jetons blancs (et ce de façon certaine). Comment procéder ?"

Résoudre l’énigme consiste donc à décrire un procédé permettant de fabriquer ces 2 tas. Par exemple, si votre méthode permet de faire à coup sûr un tas de 1 jeton blanc, et un tas de 99 jetons dont un seul est blanc, cela convient !
De prime abord, cette énigme semble… impossible.

Et pourtant, il existe bel et bien une solution. Et cette dernière n’est pas vraiment complexe, c’est ce qui est magique dans cette énigme !

Attention, la partie suivante présente la solution. Je vous invite à chercher par vous-même. Pour cela, munissez-vous d'une feuille, d'un crayon et explorez toutes les pistes qui vous semblent prometteuses !

2. La solution sur un exemple

Voici un procédé permettant de résoudre l’énigme. Je vais commencer par le décrire, pour nous l’étudierons plus en détail pour vous convaincre qu’il fonctionne.
« Faire un tas de 75 jetons et un de 25 jetons au hasard. Retournez les 25 jetons du deuxième tas ».

Et . . . voilà !

Regardons de plus près sur un exemple au hasard.

1. Nous faisons nos 2 tas. Imaginons que le tas 1 de 75 jetons contienne 15 jetons blancs.

   

2. Puisqu’il y a dans le tiroir en tout 25 jetons blancs, il y en a 10 dans le second tas (les 25 moins les 15 du tas 1). Il y a de plus 15 jetons noirs dans le tas 2 (25 jetons dont 10 blancs).

   

En retournant les jetons du tas 2, les couleurs s’échangent : un jeton blanc devient noir, et un noir devient blanc.

Ceci donne alors dans le tas 2 : 15 blancs et 10 noirs. On a 15 jetons blancs, comme dans le tas 1 : c’est gagné !

Cette technique fonctionne !! Enfin, si le tas 1 contient 15 jetons blancs...

3. La solution générale

Reprenons la solution.
« Faire un tas de 75 jetons et un de 25 jetons au hasard. Retournez les 25 jetons du deuxième tas ».

Pour l'étudier dans le cas général, nous n'allons plus supposer qu'il y a 15 jetons blancs dans le tas 1. Vérifions que cette technique fonctionne quelque soit ce nombre !

On repart de nos 2 tas.

1. Notons b le nombre de jetons blancs dans le tas 1 de 75 jetons (ici b est un entier compris entre 0 et 25 car il y a en tout 25 jetons blancs).

2. Dans le tas 2, il y a 25-b jetons blancs (les 25 de départ moins ceux du tas 1). Il y a de plus b jetons noirs (pour que le nombre de jetons blancs et noirs soit égal à 25 : on a bien 25-b+b = 25).

3. Lorsque l’on retourne les jetons du tas 2, cela donne : 25-b jetons noirs et b jetons blancs. C’est gagné, il y a b jetons blancs dans les 2 tas !

Magique, non !?