Avez-vous déjà essayé de plier plusieurs fois une feuille A4 en 2 ? On entend souvent qu’il est impossible de répéter l’opération plus de 7 fois, et il suffit d’essayer pour s’en convaincre !
Mais les mathématiques possèdent un sacré avantage sur les autres disciplines : il y est possible de s’affranchir des limites physiques ! Aujourd’hui, nous allons donc essayer de voir ce qu’il se passe si nous plions un feuille A4 autant de fois qu’on le souhaite ! La question peut sembler sans intérêt, et pourtant elle permet d’illustrer de façon spectaculaire les fameuses croissances exponentielles !
1. Une histoire de pliages
Commençons par regarder les dimensions d’une feuille A4 :
Longueur = 29,7 cm / Largeur = 21 cm / Épaisseur = 0,1 mm
Lorsque nous plions en 2 une feuille, nous nous retrouvons avec un nouveau morceau de papier dont la longueur et la largeur sont 2 fois plus petites, mais dont l’épaisseur est doublée !
Après 1 pliage, l’épaisseur obtenue est donc de 0,2 mm. Intéressons-nous aux différentes épaisseurs successives obtenues :
0,1 mm / 0,2 mm / 0,4 mm / 0,8 mm … ces épaisseurs doublent à chaque fois, si bien que l’on se retrouve avec un morceau de papier de plus en plus grand !
Voici la question à laquelle je vais vous demander de proposer une réponse de façon très intuitive :
“Combien de pliages successifs doit-on réaliser pour que l’épaisseur obtenue soit égale à la distance Terre-lune, soit 384 000 km ?”
Je vous l’accorde, il semble difficile d’y répondre. Mais essayez au moins de donner un ordre de grandeur (10 ? 100 ? 1 000? 1 000 000 000 ?) !
2. Plier jusqu’à la lune, ça ne nous fait pas peur !
Lançons-nous dans les calculs ! Pour faciliter la chose, nous allons exprimer toutes les longueurs en mètre.
L’épaisseur de la feuille vaut donc 0,1 mm = 0,0001 m et la distance Terre-Lune est de 384 000 km = 384 000 000 m
Notons N le nombre de pliages effectués. Nous avons déjà vu qu’a chaque pliage, l’épaisseur double.
Pliage 1 : 0,0001 × 2
Pliage 2 : 0,0001 × 2 × 2 = 0,0001 × 2²
Pliage 3 : 0,0001 × 2² × 2 = 0,0001 × 2^3
…
Pliage N : 0,0001 × 2^N
Nous sommes capables d’exprimer l’épaisseur obtenue en mètre après N pliages : 0,0001 × 2^N.
Il suffit maintenant de résoudre l’équation suivante, pour que cette épaisseur soit égale à la distance Terre-lune. Vous pouvez passer la résolution si vous ne voulez pas vous embêter avec, celle-ci est de niveau terminale scientifique.
Et voilà, nous connaissons une expression du nombre de pliages à faire ! Il nous suffit de regarder sa valeur (gigantesque c’est certain ?) à la calculatrice : N ≈ 42.
Pardon : 42 !!!?
Exactement ! Il suffirait seulement de 42 pliages d’une feuille d’épaisseur 0,1 mm pour obtenir une pile de hauteur dépassant la distance Terre-lune. J’espère que vous êtes ébloui par ce résultat !
3. Un problème de grains de blé !
Il existe un problème historique similaire bien connu.
Un sage vient d’inventer le jeu d’échecs, et demande au roi en récompense qu’il lui offre 1 grain de blé sur la 1ère case, 2 sur la 2nde, 4 sur la 3e, 8 sur la 4e ect, en doublant à chaque fois le nombre de grains de blé sur les 64 cases du plateau.
Le roi accepte, sans se douter de son erreur ! En effet, rien que la dernière case devrait contenir 2^63 grains ce qui vaut 9 223 372 036 854 775 808. Ce nombre est 500 fois plus élevé que la production mondiale de blé en 2012, rendez-vous compte !
Je ne rentrerai par dans le détail des croissances exponentielles (une prochaine fois). Dans le langage commun, ce terme est utilisé pour parler de phénomènes qui évoluent à vitesse extrêmement rapide. Ceci est totalement justifié mathématiquement.
Ici, pour passer de l’épaisseur du tas (ou du nombre de grains) au suivant, nous multiplions toujours par une quantité fixe : 2. Ceci décrit exactement une croissance exponentielle, et vous pouvez voir à quelle vitesse elle permet de passer de 0,0001 m à 384 000 000 m, défiant toute notre intuition !